反三角函数论文怎么写啊?大家帮帮忙呀

来源:百度知道 编辑:互助问答吧 时间:2020/04/02 23:59:33

一.基础知识自测题:

  1.sin(arccosx)=; tg(arcsinx)=; sin(arctgx)=.

  2.sin(arcsin)=; arccos(cos)=; arcsin(cos)=.

  3.tg{arcsin[cos(arcctg(-))]}=.

  4.cos[arctg+arccos(-)]=.

  5.sin[arctg(-)]=; cos(2arcsin)+cos(2arccos)=.

  6.arcsin[sin(-5)]+arctg(tg10)= 5-π .

  7.sin(2arctg)+tg(arcsin)=.

  8.cos{arcsin(sinx)+arccos[cos(x-)]}= 0 .

  二.基本要求:

  1.对反三角函数施以三角运算,实质是求三角函数值,通常是利用反三角函数的意义,用辅助角表示反三角函数,同时给定角的范围,然后化成三角函数的运算。而对于反三角函数的多层运算,一般由内到外逐层化简;

  2.求反三角函数的值的实质是求角,应注意求角的三个步骤:①讨论角的范围,确定在这个范围内不同的角有不同的三角函数值;② 求这个角的一个三角函数值;③ 求出相应的角;

  3.反三角函数的等式证明,一般必须证明两点:①等式两端的角的同名三角函数值相等;② 等式两端的角在所取的三角函数的同一单调区间内;

  例一.已知函数f (x)=arcsin(sinx), g(x)=cos(2arccosx),求证:f (x)是奇函数,g(x)是偶函数。

  证明:函数f (x)的定义域是R,f (-x)=arcsin[sin(-x)]=arcsin(-sinx)=-f (x),

  ∴f (x)是奇函数;

  函数g(x)的定义域是[-1, 1], g(-x)=cos[2arccos(-x)]=cos[2(π-arccosx)]=cos(2arccosx)=f (x).

  ∴ g(x)是偶函数。

  例二.求函数y=arccos(x2-x)的单调递增区间。

  解:由-1≤x2-x≤1, 解得≤x≤,

  设u=x2-x=(x-)2-, 则当x∈[, ]时, u单调递减,且u∈[-1, 1]时,y=arccosu单调递减, ∴当x∈[, ]时, y=f (x)单调递增。

  例三.计算:(1) tg(arcsin+arccos); (2) sin(arcctg).

  解:(1) tg(arcsin+arccos)=tg(+)=.

  (2) sin(arcctg)=sin(·)==.

  例四.求值:(1) tg[2arcsin(-)-arccos]; (2) sin(2arctg)+cos(2arctg2).

  解:(1) arcsin(-)=-,设arccos=β,则cosβ=,β∈(0, ), sinβ=,tg=,

  ∴原式=tg(--)=-tg(+)=-=-(8+5).

  (2) 设arctg=α,arctg2=β, α,β∈(0, ), 且tgα=, tgβ=2,

  因此sin(2arctg)=sin2α==, cos(2arctg2)=cos2β==-,

  ∴原式=-=-.

  例五.求值:(1) arcsin[sin(-)]; (2)arccos(cos);

  (3) arcsin[cos(+α)]+arccos[sin(π+α)], 其中0<α<.

  解:(1) sin(-)=-sin=sin, ∴arcsin[sin(-)]=arcsin(sin)=.

  (2) arccos(cos)=arccos[cos(π+)]=arccoscos=.

  (3) ∵0<α<, ∴ cos(+α)=-sinα=sin(-α), sin(π+α)=cos(+α),

  ∴原式=arcsin[sin(-α)]+arccos[cos(+α)]=-α++α=.

  例六.求证:sin{arccos[tg(arcsinx)]}=.

  证明:设arcsinx=α, α∈[-, ], sinα=x, cosα=, tgα=,

  ∴ arccos[tg(arcsinx)]=arccos, 设arccos=β, β∈[0, π],

  cosβ=, sinβ==,

  ∴ sin{arccos[tg(arcsinx)]}=.

  例七.求值:(1) tg[arcsin(-)]; (2) arcsin-arctg.

  解:(1)设arcsin(-)=α, α∈(-, 0), 且sinα=-, ∴ cosα=,

  tg[arcsin(-)]=tg==-.

  (2) 设arcsin=α,α∈(0, ),且sinα=, cosα=,

  arctg=β, β∈(0, ), 且tgβ=, sinβ=, cosβ=,

  又α-β∈(-, ), ∴ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=,

  ∴α-β=, 即arcsin-arctg=.

  例八.已知arcsin<arccos(1-x),求x的取值范围。

  解:由,解得, ∴ 0≤x≤2,

  当0≤x≤1时, arcsin∈(0, ), arccos(1-x)∈(0, ), ∴ 原式可化为

  arcsin<arcsin, ∴ <, 解得 0<x≤1,

  当1<x≤2时, arcsin∈(0, ), arccos(1-x)∈(, π), 恒有arcsin<arccos(1-x),

  综上可得,不等式的解集是{x| 0<x≤2}.

  例九.设x1, x2是方程x2-sin·x+cos=0的两个实根,且α=arctgx1, β=arctgx2,求α+β.

  解:由韦达定理可得x1+x2= sin, x1x2= cos,

  ∴ tg(α+β)====tg,

  又x1+x2= sin>0, x1x2= cos<0, 故正根的绝对值大于负根的绝对值,

  ∴α+β∈(0, ), ∴α+β=.

  例十.若(x+1)(y+1)=2,求arctgx+arctgy的值。

  解:∵ (x+1)(y+1)=2, ∴xy+x+y+1=2, ∴ x+y=1-xy,

  设arctgx=α, arctgy=β, 则tgα=x, tgβ=y, ∴ tg(α+β)= ==1,

  又α,β∈(-, ), ∴ α+β∈(-π, π), α+β=或α+β=-.

  三.基本技能训练题:

  1.当 x>0 时, arctgx=arcctg, 当 x<0 时, arctgx= arcctg-π.

  2.比较大小:arccos(-) > arcctg(-).

  3.sin(arccos+arccos)=.

  4.已知cos2α=,α∈(0, ), sinβ=-,β∈(π, ), 则α+β=.
  四.试题精选:

  (一) 选择题:

  1.若arcsin(sinx)=x,则x的取值范围是(B)。

  (A)-1≤x≤1 (B)-≤x≤ (C)0≤x≤1 (D)0≤x≤

  2.2arcsin=(D)。

  (A)arcsin (B)arccos (C)-arccos (D)π-arctg

  3.若arctg(-3)+arcctgx=,则x的值是(B)。

  (A) (B)- (C)2 (D)-2

  4.下列各式中,其值为正的是(B)。

  (A)aecsin(-)-arccos(-) (B)arccos(-)-arccos(-)

  (C)arctg-arctg (D)arctg(-3)-arctg(-1.7)

  5.cos2(arcsin)的值是(A)。

  (A) (B) (C) (D)

  6.若arcsin(-)=-arccosx,则x等于(C)。

  (A) (B)- (C) (D)-

  7.若arctg(1-x)+arctg(1+x)=,则x等于(C)。

  (A) (B)- (C)± (D)±1

  8.当x∈[-1, 0]时, 下列关系式中正确的是(C)。

  (A)π-arccos(-x)=arcsin (B)π-arcsin(-x)=arccos

  (C)π-arccosx=arcsin (D)π-arcsinx=arccos

  9.函数y=arccos(cosx) (x∈[-, ])的图象是(A)。

  (A) (B) (C) (D)

  10.若0<α<,则arcsin[cos(+α)]+arccos[sin(π+α)]等于(A)。

  (A) (B)- (C)-2α (D)--2α

  (二) 填空题:

  11.cos[arccos(-)+arccos]= -1 .

  12.arccos[sin(-)]=.

  13.arcsin+2arctg=.

  14.sin[2arccos(-)]=.

  15.arctg()=.

  (三) 解答题:

  16.求arcsin+arccos的值。

  解:设α=arcsin, α∈(0, ), sinα=, cosα=,

  β= arccos, β∈(0, ), cosβ=, sinβ=,

  ∴ α+β∈(0, π), cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=,

  ∴ arcsin+arccos=.

  17.求tg(arcsin)的值。

  解:设arcsin=α, α∈(0, ), sinα=, cosα=,

  ∴ tg==. tg(arcsin)=.

  18.求函数y=cos(2arcsinx)+2sin(arcsinx)的最值。

  解:设α=arcsinx,x∈[-1, 1], sinα=x, cos2α=1-2sin2α=1-2x2,

  ∴ y=1-2x2+2x=-2(x-)2+,

  当x=时, y取得最大值为,当x=-1时, y取得最小值-3.

  19.求证:sin[arcctg()-arctg()]=tg2.

  证明:设arctg()=θ,则arcctg()=-θ,且tgθ=,

  sin(-2θ)=cos2θ=== tg2.